Question

如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，边长为5的正三角形OAB的OA边在X轴的正半轴上。

点C、D同时从点O出发，点C以1单位长/秒的速度向A运动，点D为2单位/秒的速度沿折线OBA运动 ，设运动时间为t秒，0＜t＜5.
1、当0＜t＜5，证明CD垂直 OA
2、若△OCD的面积为S ，求S和t的函数关系
3、以点C为中心，将CD所在的直线顺时针旋转60°，交AB边于点E，若以O,C,E,D为定点的四边形是梯形，求点E的坐标

Answer 1

如下图所示；

1；做BF垂直于OA，由几何知识知道，BF垂直平分OA，即OF=FA=OA/2=OB/2=OC/2

.当0＜t＜5∕2时，即C，D分别在OF，OB上变化时，有；

∵∠A=∠A，

OC/OD=1t/2t=1/2=OF/OB

∴ △OCD∽△OFB

∴∠OCD=∠OFB=90度，

即；CD⊥OA

2；

CD^2=OD^2-OC^2=(2t)^2-t^2=3t^2

CD=√3t

SOCD=OC*OD/2=t*√3t/2=√3t^2/2

3;

满足OCED是梯形，因为∠ECA=30度，DOA=60度，所以只能是DE//OC

这时有；∠ECA=30度，∠EAO=60度，

即是；∠CEA=90度，

所以有；∵OC//DE

∴OD=AE=CA/2

同时有；OC=OD/2

∴OC=CA/4

即；OC=5*1/5=1，

CD=√3

即；D坐标为；（1，√3），

OCD和AEG是对称的，所以GA=1，即E坐标为（4，√3）

Answer 2

1、当D运动到OB上时，OC=x，OD=2x，过B作 BF⊥OA，则⊿OCD ∽⊿OFB，则垂直
当D运动到BA上时，AF=5-x，AD=10-2x，则⊿CAD ∽⊿FAB
2、当D运动到OB上时，即t≤2.5时，S=√3／2*（x的平方）
当D运动到BA上时，即2.5＜t＜5，S=√3／2*（5x-x的平方）
3、当D运动到OB上时，DE‖OC，即OD=AE,OD=2x，
又∠ACE=30°,∠CAE=60°，则CE⊥BA，AE=0.5，AC=0.5*（5-x）
解得x=1，E（4，√3）
当D运动到BA上时，CE‖OD,E（75／16，6√3／16）