求解两道微分方程
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（1）求方程(x²+y)dy/dx=xy的通解
解：∵(x²+y)dy/dx=xy
==>(xydx-x²dy)-ydy=0
==>2(xydx-x²dy)/y³-2dy/y²=0 (等式两端同乘2/y³)
==>d(x²/y²)-2dy/y²=0
==>∫d(x²/y²)-2∫dy/y²=0 (积分)
==>x²/y²+2/y=C (C是任意常数)
==>x²+2y=Cy²
∴此方程的通解是x²+2y=Cy²。
（2）求方程dy/dx=-(siny+3x²-1)/(xcosy+2y³)通解
解：∵dy/dx=-(siny+3x²-1)/(xcosy+2y³)
==>(xcosydy+sinydx)+(3x²-1)dx+2y³dy=0
==>d(xsiny)+(3x²-1)dx+2y³dy=0
==>∫d(xsiny)+∫(3x²-1)dx+2∫y³dy=0 (积分)
==>xsiny+x³-x+y^4/2=C/2 (C是任意常数)
==>2xsiny+2x³-2x+y^4=C
∴此方程的通解是2xsiny+2x³-2x+y^4=C。
解：∵(x²+y)dy/dx=xy
==>(xydx-x²dy)-ydy=0
==>2(xydx-x²dy)/y³-2dy/y²=0 (等式两端同乘2/y³)
==>d(x²/y²)-2dy/y²=0
==>∫d(x²/y²)-2∫dy/y²=0 (积分)
==>x²/y²+2/y=C (C是任意常数)
==>x²+2y=Cy²
∴此方程的通解是x²+2y=Cy²。
（2）求方程dy/dx=-(siny+3x²-1)/(xcosy+2y³)通解
解：∵dy/dx=-(siny+3x²-1)/(xcosy+2y³)
==>(xcosydy+sinydx)+(3x²-1)dx+2y³dy=0
==>d(xsiny)+(3x²-1)dx+2y³dy=0
==>∫d(xsiny)+∫(3x²-1)dx+2∫y³dy=0 (积分)
==>xsiny+x³-x+y^4/2=C/2 (C是任意常数)
==>2xsiny+2x³-2x+y^4=C
∴此方程的通解是2xsiny+2x³-2x+y^4=C。
更多追问追答
追问
多谢我想请教一下第一题的第二步是怎么直接化简为第三步的,还有第二题的第一步化简为第二步时也是,是有公式嘛?
追答
这两道题都是应用的积分因子法求解，这个方法求解简便。但需要牢记几个基本的公式，你可以查阅积分因子法有关章节。
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