Question

过双曲线（x∧2／3）-（y∧2／6）的右焦点F2，倾斜角为三十度的直线交双曲线于A，B两点，O为

过双曲线（x∧2／3）-（y∧2／6）的右焦点F2，倾斜角为三十度的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，F1为左焦点
（1）求双曲线的离心率和渐近线方程
（2）求｜AB｜
（3）求三角形AOB的面积

Answer 1

原题是:过双曲线(x²/3)-(y²/6)的右焦点F2作倾斜角为30°的直线交双曲线于A、B两点，O为坐标原点，F1为左焦点
(1)求双曲线的离心率和渐近线方程; (2)求|AB|; (3)求 Δ AOB的面积.

(1)a=√3,b=√6,c=3
离心率e=c/a=√3
渐近线方程是 y=(-√2)x 和 y=(√2)x
(2)F2(3,0),直线 AB的方程是 x=(√3)y+3
设A((√3)y1+3,y1),B((√3)y2+3,y2)
|AB|=2|y1-y2|
由 (x²/3)-(y²/6)=1且 x=(√3)y+3 消去x并化简得:
5y²+(12√3)y+12=0
Δ=(12√3)²-4·5·12=3·8²
|AB|=2|y1-y2|=2·(√Δ)/5=(16√3)/5
(3) Δ AOB的面积S=(1/2)|((√3)y1+3)·y2-((√3)y2+3)·y1|
=(3/2)|y1-y2|
=(3/2)·(√Δ)/5
=(12√3)/5

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