Question

复变函数在何处可导，何处解析f(z)=sinzln(2z)+z^3-2

Answer 1

(1)f(z)=|z|²z=(x^回2+y^2)(x+iy)=x(x^2+y^2)+iy(x^2+y^2)，

所以答u=x(x^2+y^2)，v=y(x^2+y^2)，

因此四个偏导数分别为ux=3x^2+y^2,uy=2xy,

vx=2xy,vy=x^2+3y^2.

根据柯西-黎曼方程，vx=-uy，得到2xy=-2xy即xy=0，所以x=0或y=0；

另外，根据ux=vy得到3x^2+y^2=x^2+3y^2，进而得到x^2=y^2即x=y或x=-y。根据这两个条件即可得到，f(z)仅在z=0处可导。因此在平面上处处不解析（因为解析就以为在某个小区域内都可导）。

(2)u=x^2,v=y^2，所以四个偏导数分别为

ux=2x,uy=0,vx=0,vy=2y

根据柯西-黎曼方程得到x=y。

所以f(z)在直线y=x上处处可导。同时因为解析必定是在某个区域上才能存在，因此f(z)在整个平面上处处不解析。

扩展资料：

复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容。如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数。

复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面。利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。

对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函数在黎曼曲面上就变成单值函数。黎曼曲面理论是复变函数域和几何间的一座桥梁，能够使我们把比较深奥的函数的解析性质和几何联系起来。

参考资料来源：百度百科-复变函数