Question

高等数学问题，f(x)=x^k sin1/x (x≠0),0(x=0) ，f(x)在R上可导，求k

高等数学问题，f(x)=x^k sin1/x (x≠0),0(x=0) ，f(x)在R上可导，求k的范围。我要追问的

Answer 1

当x≠0时，因为f(x)=x^k*sin(1/x)是初等函数，所以f(x)在x≠0上是可导的
要使f(x)在R上可导，则需满足以下条件：
（1）f(x)在x=0上连续
即lim(x->0)f(x)=f(0)
lim(x->0)f(x)=lim(x->0)x^k*sin(1/x)=f(0)=0
因为当x->0时，sin(1/x)是有界的发散量，所以x^k必须是无穷小量
所以k>0
（2）f(x)在x=0上可导
即f'(0)存在
f'(0)=lim(x->0)[f(x)-f(0)]/(x-0)
=lim(x->0)[x^k*sin(1/x)]/x
=lim(x->0)x^(k-1)*sin(1/x)
因为当x->0时，sin(1/x)是有界的发散量，所以x^(k-1)必须是无穷小量
所以k>1
综上所述，k>1

Answer 2

详情如图所示

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