Question

数列{an}中,有a1=1,a（n+1）=1/3Sn（n∈N*）,求： （1）数列{an}的通项公

数列{an}中,有a1=1,a（n+1）=1/3Sn（n∈N*）,求：
（1）数列{an}的通项公式；
（2）a2+a4+a6+……+a2n的值.

Answer 1

(1)n≥2时,a(n+1)=(1/3)Sn
Sn=3a(n+1)
S(n-1)=3an
Sn-S(n-1)=an=3a(n+1)-3an
3a(n+1)=4an
a(n+1)=(4/3)an
a1=1,数列{an}是以1为首项,4/3为公比的等比数列.
an=1×(4/3)^(n-1)=(4/3)^(n-1)
数列{an}的通项公式为an=(4/3)^(n-1)
(2)a2=a1×(4/3)=1×4/3=4/3
a(n+2)/an=(4/3)^(n+2-1)/[(4/3)^(n-1)]=16/9,为定值.
数列{a(2n)}是以4/3为首项,16/9为公比的等比数列.
a2+a4+a6+...+a(2n)
=(4/3)×[(16/9)ⁿ-1]/(16/9 -1)
=(12/7)(16/9)ⁿ - 12/7

追问

在数列｛An｝中,A1=1,A(n+1)=3Sn(n≥1),求证:A2,A3,…,An是等比数列.
额

这个呢

追答

∵an+1=3sn
∴a(n-1)+1=3s(n-1)
∴an-a(n-1)=3sn-3s(n-1)=an (n≥2)
∴2an=a(n-1)
∴an/a(n-1)=1/2
即a2,a3,…,an是等比数列,公比为1/2,a2=-1

追问

第3步怎么就减得an了