Question

利用导数的定义求函数y=根号(x^2+1)的导数

Answer 1

解答如下

Answer 2

令y=f(x)=根号(x²+1)，则有y'=f'(x)=lim(Δx趋近于0)(根号((x+Δx)²+1)-根号(x²+1))/Δx
=lim(Δx趋近于0)((x+Δx)²-x²)/(Δx(根号((x+Δx)²+1)+根号(x²+1)))
=lim(Δx趋近于0)(2x+Δx)/(根号((x+Δx)²+1)+根号(x²+1))
=2x/(2根号(x²+1))
=x/根号(x²+1)

Answer 3

定义:
y'=lim
dx->0
[y(x+dx)-y(x)]/dx
=lim
dx->0
[根号((x+dx)^2+1)-根号(x^2+1)]/dx
分子有理化，上下同乘[根号((x+dx)^2+1)+根号(x^2+1)]
注意分子是(a-b)(a+b)=a^2-b^2,根号抵消
=lim
dx->0
[((x+dx)^2+1)-(x^2+1)]/[dx(根号((x+dx)^2+1)+根号(x^2+1))]
=lim
dx->0
(2x*dx+dx^2)/[dx(根号((x+dx)^2+1)+根号(x^2+1))]
=lim
dx->0
(2x+dx)/[(根号((x+dx)^2+1)+根号(x^2+1))]
然后把dx=0代入，得到
y'=2x/[2根号(x^2+1)]=x/根号(x^2+1)