Question

求函数y=sin2x+cosx的值域

Answer 1

y=sin2x+cosx
y'=2cos2x-sinx
=2(1-2sin²x)-sinx
=-4sin²x-sinx+2
驻点：sinx=（1±√33）/-8
sinx=(√33-1)/8→x₁=arcsin[(√33-1)/8]或x₂=π-arcsin[(√33-1)/8]
sinx=-(√33+1)/8→x₃=arcsin[-(√33+1)/8]x₄=π-arcsin[(√33-1)/8]
∴cosx₁=√1-sin²x₁=√[(15+√33)/32]
cosx₂=-√1-sin²x₂=-√[(15+√33)/32]
cosx₃=√1-sin²x₃=+√[(15-√33)/32]
cosx₄=√1-sin²x₄=-√[(15-√33)/32]
∴一个周期内有四个极值点。
y(x₁)=2·(√33-1)/8·√[(15+√33)/32]+√[(15+√33)/32]=√(414+66√33)/16 为最大值
y(x₂)=-2·(√33-1)/8·√[(15+√33)/32]-√[(15+√33)/32]=-√(414+66√33)/16 为最小值
∴y∈[-√(414+66√33)/16,√(414+66√33)/16]