Question

一道关于导数的数学题．帮忙解一下．

已知a属于R，且涵数f(x)=(-x^2+ax)e^x (x属于R,e为自然对数的底数），判断f(x)是否为R上的单调涵数，若是，求出a的取值范围，若不是，请说明理由．

Answer 1

不是
f'(X)=(-2x+a)x^e+(-x^2+ax)e^x=[-x^2+(a-2)x+a]e^x
三角=(a-2)^2+4a=a^2+4恒大于0
不存在

Answer 2

f(x)=(-x^2+ax)e^x
f'(x)=(-x^2+ax)e^x+e^x(-2x+a)
=[-x^2+(a-2)x+a]e^x

令g(x)=-x^2+(a-2)x+a
判别式△=(a-2)^2-4*(-1)*a=a^2-4a+4+4a=a^2+4≥4
∴g(x)与x轴恒有交点
又：g(x)开口向下
∴g(x)不恒小于零（存在大于零的情况）
又：e^x＞0
∴f‘(x)=g(x) e^x不恒小于零（存在大于零的情况）
∴f(x)在R上不是单调函数

Answer 3

解：∵f ‘(x)=[-x^2+(a-2)x+a]e^x
∴令f ‘(x)=0，得-x^2+(a-2)x+a=0..........(1)
∵△=(a-2)²+4a=a²+4>0
∴无论a是什么实数f ‘(x)=0都有两个根
∵解方程(1)得x1=[a-2-√(a²+4)]/2，x2=[a-2+√(a²+4)]/2
==>x1＜x2
∴f ‘(x)=-(x-x1)(x-x2)e^x
∵当x＜x1时，f ‘(x)＜0。即函数f(x)单调递减；
当x1＜x＜x2时，f ‘(x)＞0。即函数f(x)单调递增；
当x＞x2时，f ‘(x)＜0。即函数f(x)单调递减；
∴函数f(x)在区间(-∞,x1)和(x2,+∞)内单调递减，在区间(x1,x2)内单调递增
故函数f(x)不是R上的单调函数。

Answer 4

f(x)=(-x^2+ax)e^x
f'(x)=(-x^2+ax)e^x+e^x(-2x+a)=[-x^2+(a-2)x+a]e^x
e^x 恒大于0
-x^2+(a-2)x+a=0 x=(-(a-2)±√((a-2)^2-4*(-1)a))/-2=((a-2)±√(a^2+4))/2
x>((a-2)+√(a^2+4))/2 或 x<((a-2)-√(a^2+4))/2 单调递增 -x^2+(a-2)x+a>0
((a-2)-√(a^2+4))/2<x<((a-2)+√(a^2+4))/2 单调递减 -x^2+(a-2)x+a<0
f(x)不是R上的单调涵数

Answer 5

假设f(x)在R上为单调涵数
对f(x)求导得：
f'(x)=[-x^2+(a-2)x+a]*e^x
因为f(x)在R上为单调涵数
所以其导数在R上恒为正或恒为负
所以 根的判别式=（a-2）^2-4*(-1)*a≤0
求得 a无解
所以f(x)不是单调函数

思路是这样
计算不一定对
你自己算算吧

Answer 6

f(x)=(-x^2+ax)e^x不是R上的单调函数的，理由如下：
f ‘(x)=(-x^2+ax)e^x + (-2x+a)e^x=(-x^2+(a-2)x+a)e^x=g(x)e^x
其中g(x)=-x^2+(a-2)x+a Δ=(a-2)^2-4(-a)=a^2+4>0;
则g(x)与x轴有两个交点，即g(x)可以为正，也可以为负，
也即f '(x)可正，可负，
根据导数的几何意义与函数单调性的关系可知f(x)=(-x^2+ax)e^x是R上的单调函数

Answer 7

不单调
因为导函数的[-x^2+（a-2）x+a]e^x ,前边的二次函数开口向下且判别式大于0，所以导函数不为全负