Question

同济高数第六版 无穷小的比较 求问

亲爱的各位大大…看到同济高数第六版P57的时候，我头很大，因为一直无法搞懂这个玩意是什么：

如果lim(β/α)=0 就说β是比α高阶的无穷小，记作β=o(α)

于是问题出现了我无法理解β=o(α)是个神马...翻开下一页也就是P58，关于等价无穷小的定理一：

β与α是等价无穷小的充分必要条件为：
β=α+o(α)

我不懂了...
我的个人想法一:
β=o(α)是用α来表示β的一个函数 觉得这么想是错的

个人想法二:
等价时β=α+o(α)? 明明等价时β=α嘛 那难道o(α)=0?

我彻底无法搞懂了 求救....

Answer 1

1、α是无穷小，和α一样，o(α)也是一个无穷小，只不过这个无穷小比α高阶，也就是说
lim(o(α)/α)=0。 o(α)只是一个表示方法，表示那些比α高阶的无穷小，α与β（也就是o(α)）之间没有函数关系；
2、要更正你的一个错误：无穷小α和β等价不是说 β=α ，而是lim(β)=lim(α)!
而 lim(β)=lim(α) 换一个说法就是β=α+o(α)，因为lim(o(α))=0；你的意思应该就是指lim(o(α))=0，但不能用o(α)=0的说法；o(α)是无穷小，是不会等于0的。

Answer 2

无穷小是可以比较的
当lim(β/α)=0（β时刻都比α更快地趋于0）则称β是比α高阶的无穷小
β=α+o(α）的话 o(α)是α的高级无穷小，也就是比α更趋近于0的函数，如果β和α等价的话β=α+o(α）成立 其实不明白，死记就好了 不是重点