Question

椭圆问题

一条直线：y=kx+1/2交一个椭圆（4x^2+y^2=1）于A、B两点。
已知道|AB|=1，求K
你是用两点距来做的，可不可以用√（1+k^2）*|x1-x2|这种啊

Answer 1

设A、B的坐标为(x1,y1)、(x2,y2)
将y=kx+1/2代入椭圆4x^2+y^2=1中得
4x^2+(kx+1/2)^2=1
即：（4+k^2)x^2+kx-3/4=0
从而：x1+x2=-k/(4+k^2)，x1*x2=-(3/4)/(4+k^2)
(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1*x2=(12+4k^2)/(4+k^2)^2
(y1-y2)^2=[(kx1+1/2)-(kx2+1/2)]^2
=k^2(x1-x2)^2=k^2*(12+4k^2)/(4+k^2)^2
由|AB|=1，即|AB|^2=1得
(x1-x2)^2+(y1-y2)^2=1
即：(12+4k^2)/(4+k^2)^2+k^2*(12+4k^2)/(4+k^2)^2=1
12+4k^2+k^2(12+4k^2)=(4+k^2)^2
3k^4+8k^2-4=0
解得：k^2=(-4+2√7)/3，k^2=(-4-2√7)/3（舍去）
k=±√[(-4+2√7)/3]