Question

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的右焦点F，经过F作倾角为135°的直线l交椭圆于A,B两点，线段A,B的中点为M

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的右焦点F，经过F作倾角为135°的直线l交椭圆于A,B两点，线段A,B的中点为M，直线AB与OM的夹角为θ，且tanθ=3，求这个椭圆的离心率

Answer 1

设A(x1,y1),B(x2,y2), M(x0,y0)

x0=(x1+x2)/2,y0=(y1+y2)/2,

直线斜率k=tan135°=-1，

(y1-y2)/(x1-x2)=-1,

代入椭圆方程，x1^2/a^2+y1^2/b^2=1,(1),

x2^2/a^2+y2^2/b^2=1,(2),

(1)-(2)式，

b^2/a^2+[(y1-y2)/(x1-x2)]*[y1+y2)/2]/[(x1+x2)/2]=0,

b^2/a^2-1*y0/x0=0,

y0/x0=b^2/a^2,(3)

在三角形MOF中，外角〈AMO=θ，tanθ=3,

设<MOF=α，

α=θ-45°，

tanα=(tanθ-tan45°)/(1+tanθ*tan45°)=(3-1)/(1+1*3)=1/2,

tanα=y0/x0=1/2,

由（3）式，b^2/a^2/=1/2,

b/a=√2/2，

b=a√2/2

c=√（a^2-b^2)=a√2/2,

∴离心率e=c/a=√2/2.

Answer 2

先求的OM的斜率为2（k=tanα=tan[π-(θ+45°)]=-tan(θ+45°)=2)
再设A、B两点的坐标为（x1,y1),(x2,y2)，代入椭圆方程相减得：
(y1-y2)/(x1-x2)=(-b²/a²)*(x1+x2)/(y1+y2)
即-1=(-b²/a²)*(1/2)
b²/a²=2
好像题目有问题。