Question

如何证明圆心o到椭圆任意一条弦的中点的斜率与这条弦的斜率之积为1/2

Answer 1

设椭圆x^2+y^2/b^2=1(a>b>0),①
把直线y=kx+m,②
代入①，得b^2x^2+a^2(k^2x^2+2kmx+m^2)=a^2b^2,
整理得(b^2+a^2k^2)x^2+2a^2kmx+a^2(m^2-b^2)=0,
设①②的交点坐标为M(x1,y1),N(x2,y2),则
x1+x2=-2a^2km/(b^2+a^2k^2),
MN的中点P的坐标xP=(x1+x2)/2=-a^2km/(b^2+a^2k^2),
yP=kxP+m=b^2m/(a^2+a^2k^2),
O是椭圆的中心（原点），
∴kOP=yP/xP=-b^2/(a^2k),
∴k*kOP=-b^2/a^2.
您给的命题不成立。