Question

高一直线与圆的方程中一道题

已知圆x^2+y^2+x-6y+m=0与直线x+2y-3=0相交于PQ两点,若O为坐标原点，OP垂直于OQ，试求m的值

我做这种题没思路啊！太抽象了！！通过大量做题可以提高吗？

Answer 1

,已知圆x^2+y^2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0相交于P,Q两点,且OP⊥OQ(O为坐标原点),求该圆的圆心坐标及半径
解：
由圆方程x^2+y^2+x-6y+m=0得
(x + 1/2)^2 + (y - 3)^2 = 37/4 - m
所以该圆的圆心坐标为（-1/2，3）

设P点坐标为（x1，y1），Q点坐标为（x2，y2）。
OP^2 = x1^2 + y1^2
OQ^2 = x2^2 + y2^2
PQ^2 = (x2 – x1)^2 + (y2 – y1)^2
因为OP⊥OQ
所以，有OP^2 + OQ^2 = PQ^2
代入化简得
x1* x2 + y1*y2 = 0

由直线方程x+2y-3=0得y = (3 - x)/2
代入圆方程x^2+y^2+x-6y+m=0
化简得
5x^2 + 10x + (4m - 27) = 0
x1* x2 = (4m - 27)/5 ————————（1）
2、 由直线方程x+2y-3=0得x = (3 – 2y)
代入圆方程x^2+y^2+x-6y+m=0
化简得
5y^2 – 20y + (m + 12) = 0
y1* y2 = (m + 12)/5 ————————（2）

将（1）、（2）代入x1* x2 + y1*y2 = 0
解得m = 3
代入圆方程(x + 1/2)^2 + (y - 3)^2 = 37/4 - m
37/4 - m = 25/4

所以圆(x + 1/2)^2 + (y - 3)^2 = 25/4
的半径为5/2

可以。但是最重要是掌握方法

Answer 2

解：圆的方程
x²+x+y²-6y=-m
（x+1/2）²+（y-3）²=-m+1/4+9
由OP垂直OQ
我们知道圆心角POQ=90
角OPQ=45度
那么点O到直线的距离OD（过点O作OD垂直直线于D）
那么OD=√2/2OP
点O到直线的距离=3/√5
所以
1/2×9/5=-m+1/4+9
m=167/10
建议：多做题，掌握定义，数形结合

Answer 3

x^2+y^2+x-6y+m=0与x+2y-3=0相交于P、Q两点
x=3-2y
x^2+y^2+x-6y+m=0
(3-2y)^2^2+y^2+(3-2y)-6y+m=0
5y^2-20y+12+m=0
yP+yQ=4
yP*yQ=(12+m)/5
xP=3-2yP,xQ=3-2yQ
xP*xQ=(3-2yP)*(3-2yQ)=9-6(yP+yQ)+4yP*yQ
OP⊥OQ
k(OP)*k(OQ)=-1
(yP/xP)*(yQ/xQ)=-1
xP*xQ+yP*yQ=0
[9-6(yP+yQ)+4yP*yQ]+yP*yQ=0
9-6(yP+yQ)+5yP*yQ=0
9-6*4+5*(12+m)/5=0
m=3
关键是方法，多做能提高的