Question

高等数学 连续与可导的计算

Answer 1

首先求f（0），因为连续，所以f（0）=lim（x→0）f（x）
而f（x）=xf（x）/x
所以lim（x→0）f（x）
=lim（x→0）xf（x）/x
=lim（x→0）x*lim（x→0）f（x）/x
=0*1=0
所以f（0）=0
根据求导的定义公式
f'（0）=lim（x→0）[f（x）-f（0）]/x
=lim（x→0）[f（x）-0]/x
=lim（x→0）f（x）/x
=1
所以选A

追问

可导的依据是什么

追答

根据导数的定义公式
f'（x0）=[f（x）-f（x0）]/（x-x0）
根据这个公式，极限存在，即极限是有限常数，那么就可导，导数就是求出来的极限。
如果极限不存在，含极限是无穷大的情况，那么就是不可导。
当然，首先是确定连续。不过这个题目已经先行设定了f（x）连续了，所以这点就无需证明了。

追问

你那公式是求x取向于x0的极限吗

追答

只是忘了写lim（x→x0）这个极限符号而已嘛。
在这里是求x=0的导数，所以x0=0啊
那么f'（0）=lim（x→x0）[f（x）-f（x0）]/（x-x0）

=lim（x→0）[f（x）-f（0）]/（x-0）
=lim（x→0）[f（x）-f（0）]/x