Question

设R是非空集合A上的等价关系,则对任意的两个元素a,b∈A,a和b有关系的充分必要条件

为[a]=[b].其中[x]表示A中所有与x有关系的元素组成的集合。
证明题

Answer 1

证明一个关系是否是等价关系，只需证明它是否满足三个性质：自反性、对称性、传递性。
现已知R是对称的和传递的，所以只需证明R是否满足自反性即可。
证明：对任意A中的一个元素a，根据条件可知，在A中必存在某个元素b，且使得(a, b)∈R。又由于R是对称的，所以(b, a)∈R。由(a, b)∈R、(b, a)∈R，再根据R是可传递的，得(a, a)∈R。所以R是自反的。
得证。