Question

求一高数大神解答此题，泰勒公式相关的问题！

求一高数大神解答此题，泰勒公式相关的问题！用泰勒公式解此题

Answer 1

由题意得：
lim(1-cosxcos2xcos3x)/ax^n =1
使用罗必塔公式，上下求导
=lim(sinxcos2xcos3x+2cosxsin2xcos3x+3cosxcos2xsin3x)/anx^(n-1) =1
因为当x→0时，sinx~x
则sin2x~2x，sin3x~3x
则=lim(xcos2xcos3x+2cosx*2xcos3x+3cosxcos2x*3x)/anx^(n-1) =1
=lim(cos2xcos3x+2cosx*2cos3x+3cosxcos2x*3)/anx^(n-2) =1
则n-2=0。分子=1+4+9=14
an=14
所以，n=2,a=7

追问

二次求导时上面为什么只对X求导，cos怎么没计算呢

追答

只求了一次。第二次使用的是无穷小等价代换

追问

你这个方法确实可以

但是我的疑问是用泰勒公式时如何确定展开到第几项

追答

舍近求远啊！
展开到2项即可。
因为
cosx=1-x^2/2!+x^4/4!+~+(-1)^kx^2k/(2k)！+o（x^(2k+1))
cos2x=1-(2x)^2/2!+(2x)^4/4!+~+(-1)^k(2x)^2k/(2k)！+o（(2x^(2k+1))
cos3x=1-(3x)^2/2!+(3x)^4/4!+~+(-1)^k(3x)^2k/(2k)！+o（(3x^(2k+1))
分子是关于x，最低次幂为2的关于x的多项式，我们权且写成
a1x^2+a2x^3+...+akx^k+...
上下除以x^n,分子变为：
a1x^(2-n)+a2x^(3-n)+...+akx^(k-n)+...
则只有 n2，则极限为无穷大， 比n小的项极限为∞）
而n0 项的出现.. 求极限为∞

Answer 2

把cos2x和cos3x当里面额2x和3x当成一个整体，运用cosx=1-x^2/2!+x^4/4!+~+(-1)^kx^2k/(2k)!+¤(x(2k+1))展开，然后把x的同阶次的进行相乘与ax^n进行对比。操作起来不难。

追问

展开到多少项合适呢

Answer 3

cosxcos3x积化和差然后继续积化和差展开更简单

追问

感觉积化和差有点麻烦

三角函数公示记不牢

追答

…
=1-cos2x(cos4x+cos2x)/2
=1-(cos6x+cos2x)/4-(cos4x+1)/4
=(3-cos2x-cos4x-cos6x)/4
然后洛必达一次再近似值代换就搞定了