Question

已知正方形ABCD，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F。求证：DP⊥EF

拜托大家了，明天考试了。

Answer 1

证明:延长EP交BC于G,延长PD,交EF于H

        ∵PGCF是正方形

    ∴PG=PF

       在Rt△PDG和Rt△PEF中

       PE=EA=PG

             PG=PF(已证)

      ∴Rt△PDG≌Rt△PEF

       ∴∠DPG=∠EFP

      ∵∠DPG=∠EPH(对顶角)

    ∴∠EPH=∠EFP

     ∵∠EFP+∠FEP=90°

   ∴∠EPH+∠FEP=90°

   ∴PD⊥EF

Answer 2

此题可以用向量的方法来证：
以正方形的顶点B为坐标原点，AB所在直线为正Y轴，BC所在方向为正X轴，构造坐标系
设点P（x,y）
则E（0，y），F（x,0）
D(1,1) 假设正方形的边长为单位“1”
点P在对角线AC上，满足直线AC的方程式：y=-x+1
向量EF=（x,-y）
向量PD=（1-x,1-y）
向量EF*向量PD=x(1-x)-y(1-y)
将y=-x+1代入，x(1-x)-y(1-y)=0
所以DP⊥EF