函数有界性跟导数的关系？
f'(x)在(a,b)上有界，f(x)在在(a,b)一定有界，反过来成立吗？f(x)在(a,b)上无界，f'(x)在(a,b)上一定无界，反过来成立吗？...
f'(x)在(a,b)上有界，f(x)在在(a,b)一定有界，反过来成立吗？
f(x)在(a,b)上无界，f'(x)在(a,b)上一定无界，反过来成立吗？ 展开
f(x)在(a,b)上无界，f'(x)在(a,b)上一定无界，反过来成立吗？ 展开
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一、若f'(x)在(a,b)上有界且可积 => f(x)在(a,b)一定有界
该命题正确，但反之不正确。
因为：f(x)= ∫[a,x]f'(t)dt，有界函数在有限的范围内(a,b)的积分必定有界（就是f(x)与x轴和x=a,x=b围成的面积嘛，注意上正下负，有限的面积，所以有界），
然而反过来举个反例即可，如：y=f(x)=√(1-x²)①
其实该函数的(x,y)图像是一个x轴之上的半圆（①=> y²=1-x² => x²+y²=1）
那么该函数在x=±1上的导数是无穷大哦！∵切线斜率为无穷大。
二、f(x)在(a,b)上无界 ?=>? f'(x)在(a,b)上一定无界
此命题看似正确，但还要分析一下再回答
该命题正确，但反之不正确。
因为：f(x)= ∫[a,x]f'(t)dt，有界函数在有限的范围内(a,b)的积分必定有界（就是f(x)与x轴和x=a,x=b围成的面积嘛，注意上正下负，有限的面积，所以有界），
然而反过来举个反例即可，如：y=f(x)=√(1-x²)①
其实该函数的(x,y)图像是一个x轴之上的半圆（①=> y²=1-x² => x²+y²=1）
那么该函数在x=±1上的导数是无穷大哦！∵切线斜率为无穷大。
二、f(x)在(a,b)上无界 ?=>? f'(x)在(a,b)上一定无界
此命题看似正确，但还要分析一下再回答
追答
f(x)在(a,b)上无界且可导 => f'(x)在(a,b)上一定无界
要加条件“可导”，否则如 f(x)= (tanx-x)*D(x) ，其中D(x)为狄利克雷函数。
则f(x) 只有在x=0时可导 f'(0)=0，注意在x=0的任一邻域都不可导哦！
因为f'(x) 只有在x=0时才可导，所以 没办法无界了嘛。
数学就是这么坑这么较真。。。
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