Question

问道高一数学题

已知a是不为零的常数，二次函数g(x)=ax^2-x的定义域为R，函数y=g(x-4)为偶函数。函数f(x)=ax^2+x的定义域为〖m，n〗（m<n）
(1)求a的值
（2）当m=0 n=12时，求函数f(x)的值域
（3）是否存在实数m、n，是函数f(x)的值域为〖3m，3n〗？ 如果存在，求出m、n的值；如果不存在，请说明理由。

Answer 1

(1)y=g(x-4)
=a(x-4)^2-(x-4)
=ax^2-(8a+1)x+16a+4
为偶函数，即y(x)=y(-x)
则有8a+1=0，a=-1/8
(2)f(x)对称轴为x=4,在定义域范围内，f(x)开口向下，则f(x)在定义域内最大值为f(4)=2
与端点值f(0)=0，f(12)=-6比较得出f(x)在定义域内最小值为f(12)=-6
则函数f(x)的值域为（-6,2）
(3)f(x)=(-1/8)x^2+x
分情况讨论
一、当n<=4时，若存在，则有(-1/8)x^2+x=3x，求得m=-16,n=0
二、当m>=4时，若存在，则有(-1/8)x^2+x=3x，m=-16,n=0 ,与n>m>4矛盾
三、当m<4<n时，由（2）知f(x)最大为f(4)=2，若存在m，n则3n=2，与n>4矛盾
综上所述存在这样的m,n
m=-16,n=0

Answer 2

1.y=g(x-4)为偶函数，所以y=g(-x-4)=g(x-4)
所以a(-x-4)^2-(-x-4)=a(x-4)^2-(x-4),化简得，16ax+2x=0
所以2x（8a+1）=0，a=1/8