如何证明方程“x^5+x-1=0”只有一个正根？
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假设有一个负根A<0，则A^5<0
所以A^5+A-1必然小于0，与假设矛盾，所以不可能有负根。
假设有两个不相等的根A,B。
则A^5+A-1=0
且B^5+B-1=0
所以两式相减，A^5-B^5+A-B=0
因式分解得，(A-B)(A^4+A^3B+A^2B^2+AB^3+B^4)=0
因为原式不可能有负根，所以后面一个因式一定大于0.
要使上式依然等于0，A-B=0
所以A=B，A和B实际上为同一根。
与原假设矛盾，所以原式不可能有两个根
所以A^5+A-1必然小于0，与假设矛盾，所以不可能有负根。
假设有两个不相等的根A,B。
则A^5+A-1=0
且B^5+B-1=0
所以两式相减，A^5-B^5+A-B=0
因式分解得，(A-B)(A^4+A^3B+A^2B^2+AB^3+B^4)=0
因为原式不可能有负根，所以后面一个因式一定大于0.
要使上式依然等于0，A-B=0
所以A=B，A和B实际上为同一根。
与原假设矛盾，所以原式不可能有两个根
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