Question

线性代数，证明:二次型f=xTAx在||x||=1时的最大值为矩阵A的最大特征值

线性代数，证明:二次型f=xTAx在||x||=1时的最大值为矩阵A的最大特征值证明:二次型f=xTAx在||x||=1时的最大值为矩阵A的最大特征值
网上也搜到了答案，可是看不懂，麻烦解答的详细一点谢谢

Answer 1

具体回答如图：

如果数λ和n维非零列向量x使关系式Ax=λx成立，那么这样的数λ称为矩阵A特征值，非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量。式Ax=λx也可写成( A-λE)X=0。这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式| A-λE|=0。

扩展资料：

若λ是可逆阵A的一个特征根，x为对应的特征向量，则1/λ 是A的逆的一个特征根，x仍为对应的特征向量。若 λ是方阵A的一个特征根，x为对应的特征向量，则λ 的m次方是A的m次方的一个特征根，x仍为对应的特征向量。

有n个复根λ1,λ2,…,λn，为A的n个特征根。当特征根λi(I=1,2,…,n)求出后，(λiE-A)X=θ是齐次方程，λi均会使|λiE-A|=0，(λiE-A)X=θ必存在非零解，且有无穷个解向量，(λiE-A)X=θ的基础解系以及基础解系的线性组合都是A的特征向量。

若是的属于的特征向量，则也是对应于的特征向量，因而特征向量不能由特征值惟一确定．反之，不同特征值对应的特征向量不会相等，亦即一个特征向量只能属于一个特征值。

参考资料来源：百度百科——矩阵特征值

Answer 2

看看是不是这样？

Answer 3

拉格朗日函数
L(x1,x2,…,xn,k)=XTAX-k(∑xi^2-1)
分别对x1,x2,…xn求偏导数
dL/dxi=2aiT(x1,x2,…,xn)T-2kxi=0
其中aiT为A阵的第i行！！！
把上面n个方程合并可得A(x1,x2,…,xn)T=k(x1,x2,…,xn)T
你可以看出来这个k为A的一个特征值
把AX=kX带入f
f=XTkX=kXTX=K||X||=k
如果k不是最大特征值，那么与之前拉格朗日求最大值有矛盾！！