Question

当02x，该怎么证明这个不等式？

Answer 1

解引入函数f（x）＝sinx＋tanx－2x，则：
f′（x）
＝cosx＋1/（cosx）^2－2
＝［（cosx）^3－2（cosx）^2＋cosx＋1－cosx］/（cosx）^2
＝［cosx（cosx－1）^2＋1－cosx］/（cosx）^2。
∵x是锐角，∴0＜cosx＜1，∴f′（x）＞0，∴f（x）在（0，π/2）上是增函数，
又f（0）＝sin0＋tan0－2×0＝0，∴f（x）在（0，π/2）上恒为正数，
∴在（0，π/2）上，sinx＋tanx－2x＞0，∴在（0，π/2）上，sinx＋tanx＞2x。