Question

已知π是一个圆周率，那e是一个什么？

Answer 1

e最早的起源,复利问题
《威尼斯商人》里刻画了以贪婪和狠心而闻名的高利贷商人夏洛克.其实这个历史背景是地理大发现带给欧洲繁荣以后,金融业逐渐发展,高利贷引发了一系列的贷款问题.贷款自然会带来利息问题.
最简单的利息是单利：如果你曾经在银行办理过定期存款,那么你不难理解单利,假设三年期定期存款的利率为3.5%,你存入100元,那么三年后你取出来,利息是3.5%*3=10.5元.利息跟本金将一并支付给你.（这里讨论均不考虑利息税）
稍微复杂一点的是按一定期限计算利息的方式：目前我国七年期记账式国债的采用的是按年计算利息的方式,假设国债利率是3.5%,那么你买了100元国债,每经过一年,便支付3.5元的利息,到最后一年一并支付最后一次利息和本金.
乍看起来似乎一样,但是明眼人一下子就可以发现,后者的收益比前者高.因为后者的利息是按年支付的,当先收得利息之后,立刻就可以把利息拿来再次投资.投资之后仍然会产生利息.于是加起来,总收益比前者要高.
这样就产生了复利的计算方法,（我国民间叫“利滚利”）,比如按10年放出6%利息的贷款,按年计算复利,那么对于每一元前,第一年末得到1+0.06,第二年末得到(1+0.06)*(1+0.06),第三年末总共得到(1+0.06)*(1+0.06)*(1+0.06),.不难看出,对于每一元钱,复利的计算公式是S=(1+i)exp(n)其中i是复利率,n是计息次数.
按这个公式计算,可以看到按6%这个利息率,按年收复利的话,十年前的1元钱会变成10年后的1.79元.
复利可以按年计算,也可以按月计算,甚至按天计算.如果年复利率不变,月利率就是年利率/12,日利率就是年利率/365.25
我们仍按上面公式计算一下,S=（1+5%%）^120=1.819
S=(1+0.0001644)^3652.5=1.822
总的趋势是：随着计息间隔的缩小,本利和在加大.那么,有些贪心的夏洛克就在想了,假如在理论上,我可以让复利的计息间隔缩短到1小时,1分钟,1秒种,甚至是每个瞬间,（理论上）的,那我会怎么样?
我们可以得到一个对任意计息间隔适用的一般的公式：
S=(1+i/t)^n*t => S=((1+i/t)^t)^n
在这里, t代表一年内计多少次利息?n代表经过多少年?i仍然代表年复利率.
(1+i/t)^t)这个式子不难用换元法转换到（1+1/x）^xi .(x=t/i)的形式.
那么,关键是求出,当n趋向于无穷大时,y(x)=(1+1/x)^x是多少?它会是无限的吗?能填满大大小小的夏洛克们永不餍足的胃口吗?
很遗憾,计算出来这个值,你也猜到了,就是我们的主角e,也就是说,复利并不会随着计息间隔的无限缩小而膨胀到无穷,而是会在某一点稳定下来,这个神奇的极限就是自然对数的底：e.

Answer 2

通常将以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为LgN。在科学技术中常使用以无理数e＝2．71828……为底的对数，从e为底的对数称为自然对数，并且把logeN记为LnN。