Question

求解高一数学题！

要有过程和答案

Answer 1

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题目
已知函数f（x）=|x+a|+|2x-1|（a∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥2的解集；
（Ⅱ）若f（x）≤2x的解集包含[
1
2
，1]，求a的取值范围．
解析
（1）通过分类讨论，去掉绝对值函数中的绝对值符号，转化为分段函数，即可求得不等式f（x）＞0的解集；
（2）由题意知，不等式可化为|x+a|+2x-1≤2x，即|x+a|≤1，解得-a-1≤x≤-a+1，
由f（x）≤2x的解集包含[
1
2
，1]，可得
−a−1≤
1
2
−a+1≥1
，解出即可得到a的取值范围．
解答
（1）当a=1时，不等式f（x）≥2可化为|x+1|+|2x-1|≥2，
①当x≥
1
2
时，不等式为3x≥2，解得x≥
2
3
，
故此时不等式f（x）≥2的解集为x≥
2
3
；
②当-1≤x＜
1
2
时，不等式为2-x≥2，解得x≤0，
故此时不等式f（x）≥2的解集为-1≤x＜0；
③当x＜-1时，不等式为-3x≥2，解得x≤−
2
3
，故x＜-1；
综上原不等式的解集为{x|x≤0或x≥
2
3
}；
（2）因为f（x）≤2x的解集包含[
1
2
，1]，
不等式可化为|x+a|+2x-1≤2x，即|x+a|≤1，
解得-a-1≤x≤-a+1，
由已知得
−a−1≤
1
2
−a+1≥1
，解得−
3
2
≤a≤0
所以a的取值范围是[−
3
2
，0]．