Question

求下面这个幂级数的和函数

Answer 1

如图，这是这道题的过程

追问

那个4！不能简单地提出来吧

Answer 2

分享一种解法，借助微分方程求解。设S(x)=∑(x^4n)/(4n)!。
由S(x)对x求导4次，依次有S'(x)=∑[x^(4n-1)]/(4n-1)!、S''(x)=∑[x^(4n-2)]/(4n-2)!、S'''(x)=∑[x^(4n-3)]/(4n-3)!、S''''(x)=∑[x^(4n-4)]/(4n-4)!=S(x)。
显然，S(0)=1、S'(0)=S''(0)=S'''(0)=0。再有S''''(x)=S(x)，是关于S(x)的4阶常系数微分方程。其特征根为±1、±i。∴其通解为S(x)=(c1)e^x+(c2)e^(-x)+(c3)sinx+(c4)cosx。
∴S(0)=c1+c2+c4=1、S'(0)=c1-c2+c3=0、S''(0)=c1+c2-c4=0、S'''(0)=c1-c2-c3=0。解得c1=c2=1/4、c3=0、c4=1/2。
∴原式=(1/4)[e^x+e^(-x)]+(1/2)cosx。
供参考。