Question

一道高数题目 求多元函数积分问题

麻烦大神帮忙看一下这道题目 我算的结果和答案不一样 答案我划了红线的地方有点疑问 y^2化成极坐标不应该有cos吗？

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Answer 1

如图所示：

Answer 2

解答

添加曲面S1:{x2+y2⩽1z=0，方向为z轴的负方向。
令∑和S1所围成的空间区域为Ω，根据高斯公式可得，
I1∑+S1(x3+z2)dydz+(y3+x2)dzdx+(z3+y2)dxdyΩ3(x2+y2+z2)dxdy=∬=∭=3∫2π0dθ∫π20sinφdφ∫10ρ4dρ=65π，
又因为
I2S1(x3+z2)dydz+(y3+x2)dzdx+(z3+y2)dxdyS1y2dxdyx2+y2=∬=∬=−∬⩽1y2dxdy=−∫2π0sin2θdθ∫10r3dr=−π4
所以，
I=I1−I2=65π+π4=2920π