Question

线性代数A^2+A-2E=0，A及A+2E都可逆,求（A+2E）的逆矩阵 ？

正确答案是：
A^2+A-2E=0
(A+3E)(A-2E)=-4E
这样就能求出A-2E的可逆为-1/4（A+3E)

我的问题是，可以不可以这么写：
A^2+A-2E=0
A-2E=-A^2
(A-2E)(-1/A^2)=1
则A-2E的可逆为-1/A^2.

应该不会有两种答案吧，但是这种方法到底错在哪里了？？

Answer 1

您的最后一步转换(A-2E)(-1/A^2)=1不准确，因为对于矩阵的乘法而言，一个n阶矩阵乘以另一个n阶矩阵，得到的结果仍是一个矩阵，除非是1阶否则不会是单独的1个数。所以您直接按实数方程一样将等式右边变成1方法不对。
如果A²可逆，（A-2E）【A²】^-1=-A^2【A²】^-1=-E E为单位矩阵，但是这样并不容易求得题目种要求的答案，所以正确答案带有目的的配方法是对的。
如果有用，望采纳，谢谢。

Answer 2

你可以把第一小问求出的A^-1=1/2(A+E)代入到第二小问，可以发现这两个答案其实是一样的，我认为是没有问题的。