Question

求证：三角形内任一点到三顶点距离之和大于周长的一半而小于周长

Answer 1

已知：O为△ABC内的任一点，求证：
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2
（AB+BC+CA）＜OA+OB+OC＜AB+AC+BC．
证明：∵三角形中任意两边之和大于第三边，
∴OA+OB＞AB，OA+OC＞CA，OB+OC＞BC，
∴2（OA+OB+OC）＞AB+BC+CA，即
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2
（AB+BC+CA）＜OA+OB+OC；
∵三角形中任意两边之差小于第三边，
∴CA-CO＞AO，BC-BO＞CO，AB-AO＞BO，
两边相加得，CA+AB+BC-（AO+BO+CO）＞AO+BO+CO，即AC+AB+BC＞2（AO+BO+CO）
∴AC+AB+BC＞AO+BO+CO
∴
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2
（AB+BC+CA）＜OA+OB+OC＜AB+AC+BC．

Answer 2

P为ΔABC内一点：
⑴PA+PB+PC>(AB+BC+AC)/2比较容易证明。
∵PA+PB>AB，PB+PC>CB，PA+PC>AC，
三式相加
得2(PA+PB+PC)>AB+BC+AC，
∴PA+PB+PC>1/2(AB+BC+AC)。
⑵延长BP交AC于Q，
在ΔABQ中：AB+AQ>BQ=PB+PQ……①，
在ΔCPQ中：PQ+CQ>PC……②，
①+②得：AB+AQ+PQ+CQ>PB+PQ+PC，
∴AB+(AQ+CQ)>PB，即AB+AC>PB+PC，
同理：AB+BC>PA+PC，BC+AC>PA+PB，
三式相加
得：2(AB+BC+AC)>2(PA+PB+PC)，
即PA+PB+PC<AB+BC+AC。
∴三角形内任一点到三顶点距离之和大于周长的一半而小于周长。