Question

初中几何三角形相似问题

三角形ABC是直角三角形,角A等于90度。
O是AC上一点，AD垂直BC于点D，BO与OE垂直。
求（1）三角形ABF相似于三角形COE
（2）当O为AC中点时，AC/AB=2，求OF/OE=？
（3）当O为AC中点时，AC/AB=n，求OF/OE=？

Answer 1

【1.】
因为AB垂直于AC,BO垂直于OE 所以角ABF=角COE
因为AB垂直于AC,AD垂直于BC 所以角BAF=角OCE
所以三角形ABF相似于三角形COE
【2.】 2 。由下面解释可知
所以当O为AC边中点，AC/AB=2时，OF/OE=2
【3.】 n
为区别 AC=n*AB
做OG垂直于BC垂足为G，可知AD平行于OG
易得三角形ADF相似于三角形AGO相似于三角形AOE
O为AC中点 所以AO=OC=n*AB/2
BO=SQRT(n^2+4)*AB/2
三角形ABC相似于三角形GOC
OG=n*AB/(2*sqrt(n^2+1))
三角形ABD相似于三角形CBA
BD=AB/SQRT(n^2+1)
由勾股定理
BG=(n^2+2)*AB/(2*sqrt(n^2+1))
三角形ADF相似于三角形AGO
BF=SQRT(n^2+4)*AB/(n^2+2)
OF=BO-BF=n^2*SQRT(n^2+4)*AB/((n^2+2)*2)
三角形BDF相似于三角形OGE
OE=BF*OG/BD=n*SQRT(n^2+4)*AB/((n^2+2)*2)
OF/OE=n
所以当O为AC边中点，AC/AB=n时，OF/OE=n

Answer 2

【1.】
因为AB垂直于AC,BO垂直于OE 所以角ABF=角COE
因为AB垂直于AC,AD垂直于BC 所以角BAF=角OCE
所以三角形ABF相似于三角形COE
【2.】 2 。由下面解释可知
所以当O为AC边中点，AC/AB=2时，OF/OE=2
【3.】 n
为区别 AC=n*AB
做OG垂直于BC垂足为G，可知AD平行于OG
易得三角形ADF相似于三角形AGO相似于三角形AOE
O为AC中点 所以AO=OC=n*AB/2
BO=SQRT(n^2+4)*AB/2
三角形ABC相似于三角形GOC
OG=n*AB/(2*sqrt(n^2+1))
三角形ABD相似于三角形CBA
BD=AB/SQRT(n^2+1)
由勾股定理
BG=(n^2+2)*AB/(2*sqrt(n^2+1))
三角形ADF相似于三角形AGO
BF=SQRT(n^2+4)*AB/(n^2+2)
OF=BO-BF=n^2*SQRT(n^2+4)*AB/((n^2+2)*2)
三角形BDF相似于三角形OGE
OE=BF*OG/BD=n*SQRT(n^2+4)*AB/((n^2+2)*2)
OF/OE=n
所以当O为AC边中点，AC/AB=n时，OF/OE=n

Answer 3

【1.】
因为AB垂直于AC,BO垂直于OE 所以角ABF=角COE
因为AB垂直于AC,AD垂直于BC 所以角BAF=角OCE
所以三角形ABF相似于三角形COE
【2.】 2 。由下面解释可知
所以当O为AC边中点，AC/AB=2时，OF/OE=2
【3.】 n
为区别 AC=n*AB
做OG垂直于BC垂足为G，可知AD平行于OG
易得三角形ADF相似于三角形AGO相似于三角形AOE
O为AC中点 所以AO=OC=n*AB/2
BO=SQRT(n^2+4)*AB/2
三角形ABC相似于三角形GOC
OG=n*AB/(2*sqrt(n^2+1))
三角形ABD相似于三角形CBA
BD=AB/SQRT(n^2+1)
由勾股定理
BG=(n^2+2)*AB/(2*sqrt(n^2+1))
三角形ADF相似于三角形AGO
BF=SQRT(n^2+4)*AB/(n^2+2)
OF=BO-BF=n^2*SQRT(n^2+4)*AB/((n^2+2)*2)
三角形BDF相似于三角形OGE
OE=BF*OG/BD=n*SQRT(n^2+4)*AB/((n^2+2)*2)
OF/OE=n
所以当O为AC边中点，AC/AB=n时，OF/OE=n

Answer 4

1,
AD垂直BC,所以角DFO等于90+角OBC等于角BFA,BO垂直OE,根据三角形外角定理，角OEC等 于角OBC+90,所以角BFA＝角OEC,又因为BA垂直AC，所以角BAD+DAC＝90,又因为角DAC+C=90,所以角BAD=角C,所以三角形BAF相似三角形OEC
2
过O作OM垂直AD,易证AMO相似三角形ABO相似三角形BOA,三角形BDF相似三角形OMF,设BD=X,因为相似三角行ABC,所以AD=2X,又易证三角形ABO为等腰直角三角形,所以三角形BOA全等AMO,所以OM=2X,所以BF:FO=2:1,又易证三角形BAF全等三角形OEC,所以OF:OE=2:1
3 ( 太难打字了,要不停代换X,Y,我只写大致数据,证法于二相似,不过全等变 相似 )
过O作OM垂直AD,易证AMO相似三角形ABO相似三角形BOA, 设AB=2X(好算),则AC=2NX,AO=XN=CO,所以BF=2 / N OE,设BD=Y,则AD=NY, 三角形BOA相似AMO,解得OM=N方/2Y,所以BF:OF=N方/2,将OE代入,解得NOE=OF
楼上的~~~~~好像不对,两个角相等一定相似的,我无语了

Answer 5

1 因为角A为90°所以角ABF和角AOB互余，角AOB又与角COE互余，所以角ABF=角COE
因为AD垂直于BC，所以角BAF与角B互余，而角B与角C互余，所以角BAF=角C，
角AFB与角OEC相等很容易证明，但我记得三个角相等好像不一定相似的，你要不再去找条边吧。
2 不会啊