Question

证明函数f(x)=x³+x在(0,正无穷)上是增函数要详细的步骤

Answer 1

设0<x1<x2.
所以x2-x1>0,x1x2>0
f(x2)-f(x1).
=(x2^3+x2)-(x1^3+x1).
=(x2^3-x1^3)+(x2-x1).
=(x2-x1)(x2^2+x2x1+x1^2)+(x2-x1).
=(x2-x1)(x^2+x1x2+x1^2+1).
因为x2-x1>0,x^2+x2x1+x1^2+1>0.
所以f(x2)-f(x1)>0.
所以f(x2)>f(x1).
所以f(x)在(0,正无穷)上是增函数.

Answer 2

解：任取0<x<y，则
f(y)-f(x)
=y³-x³+y-x
=(y-x)(y²+xy+x²)+(y-x)
=(y-x)(y²+xy+x²+1)
因为
0<x<y
所以
y-x>0，y²+xy+x²+1>0
从而 f(y)-f(x)=(y-x)(y²+xy+x²+1)>0
即证
f(x)=x³+x在(0,正无穷)上是增函数

Answer 3

f'(x)=3x^2+1>0
即有，故（0，正无穷）上，f'(x)恒大于0
则f(x)是增函数。