Question

证明 3*[(a+b+c)/3-(abc)^(1/3)]>=2*[(a+b)/2-(ab)^(1/2)]，其中a，b，c都是正数

Answer 1

利用三元基本不等式得：
c+√(ab)+
√(ab)≥3(c*√(ab)*√(ab))^(1/3)=
3(abc)^(1/3),
所以c
-3(abc)^(1/3)
≥-2√(ab)
两边同时加上a+b得：
a+b+c
-3(abc)^(1/3)
≥a+b-2√(ab)
所以3*[(a+b+c)/3-(abc)^(1/3)]≥2*[(a+b)/2-√(ab)
]
∴结论成立。

Answer 2

反推：
3*[(a+b+c)/3-(abc)^(1/3)]>=2*[(a+b)/2-(ab)^(1/2)]
a+b+c-(abc)^(1/3）>=a+b-(ab)^(1/2)
3(abc)^(1/3）-2(ab)^(1/2)小于-c=0
因为
a+b+c大于等于3倍三次根号abc
所以
a+b+c-a-b-c=0
即
原式成立.