Question

函数f(x)=(x2+x+1)/(x2+1)的值域为

Answer 1

分母是(x^2+x+1)整体，对吧？
x^2表示x的平方。
f(x)=3x/(x^2+x+1)
=3/(x+1+1/x)
先单独研究x+1/x
因为x<0，所以设
g(x)=-(x+1/x)=(-x)+1/(-x)
=[√(-x)]^2-2*√(-x)*[1/√(-x)]+[1/√(-x)]^2+2*√(-x)*[1/√(-x)]
=[√(-x)-1/√(-x)]^2+2
当√(-x)=1/√(-x)即x=-1时，g(x)取最小值2
所以x+1/x=-g(x)≤-2
x+1+1/x≤-1
0>1/(x+1+1/x)≥-1
0>3/(x+1+1/x)≥-3
因此f(x)的值域为[-3,0)

Answer 2

f(x)=(x²+x+1)/(x²+1)
=1+x/(x²+1)
=1+1/(x+1/x)
∵x＞0时，x+1/x≥2√(x*1/x)=2
x＜0时，x+1/x=-[(-x)+1/(-x)]≤-2√(-x)*1/(-x)=-2
∴1/(x+1/x)∈[-1/2,0)∪(0,1/2]
∴f(x)∈[1/2,1)∪(1,3/2]
明教
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