Question

高一不等式难题

Answer 1

可以用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，x1^2/y1=(x1)^2/y1，等式成立。
（2）假设当n=k时原不等式成立，
即x1^2/y1+x2^2/y2+...+xn^2/yn
≥(x1+x2+....+xn)^2/(y1+y2+...+yn).
设An=x1^2/y1+x2^2/y2+...+xn^2/yn，
Bn=(x1+x2+....+xn)^2/(y1+y2+...+yn)
，
那么An≥Bn
当n=k+1时，An+1=x1^2/y1+x2^2/y2+...+xn^2/yn+xn+1^2/yn+1=An+xn+1^2/yn+1
≥(x1+x2+....+xn)^2/(y1+y2+...+yn)+xn+1^2/yn+1
≥[(x1+x2+....+xn)^2+xn+1^2]/（y1+y2+...+yn+yn+1)
≥(x1+x2+....+xn+1)^2/(y1+y2+...+yn+1)
=Bn
所以此时不等式也成立
综上所述，原不等式x1^2/y1+x2^2/y2+...+xn^2/yn
≥(x1+x2+....+xn)^2/(y1+y2+...+yn)成立