Question

高一数学不等式难题求解

已知a、b、c均为正实数，且满足a^2+b^2+c^2=1
求a^-2+b^-2+c^-2的最小值
答案为9 求过程

Answer 1

a²+b²+c²=0

所以1/a²+1/b²+1/c²
=(1/a²+1/b²+1/c²)(a²+b²+c²)
=1+1+1+b²/a²+c²/a²+a²/b²+c/b²+a²/c²+b²/c²

算术平均大于等于几何平均
b²/a²+c²/a²+a²/b²+c/b²+a²/c²+b²/c²>=6(b²/a²*c²/a²*a²/b²*c/b²*a²/c²*b²/c²)的6次方根=1

所以1/a²+1/b²+1/c²>=1+1+1+6=9
所以最小值=9

Answer 2

解：由题设及柯西不等式可得：（1/a)²+(1/b)²+(1/c)²=(a²+b²+c²)[(1/a)²+(1/b)²+(1/c)²]≥(1+1+1)²=9.即(1/a)²+(1/b)²+(1/c)²≥9.等号仅当a=b=c=√3/3时取得。

Answer 3

∵a²+b²+c²=1，且a，b，c均为正数，
∴a^(-2)+b^(-2)+c^(-2)
= a^(-2)+b^(-2)+c^(-2) ×(a²+b²+c²)
=(b²/a²)+(c²/a²)+ (a²/b²)+(c²/b²)+(a²/c²)+(b²/c²)+3
=[(b²/a²)+(a²/b²)]+[(c²/b²)+(b²/c²)]+[(c²/a²)+(a²/c²)]+3
≥2+2+2+3=9
（当且仅当a=b=c时取等号）
∴当a=b=c=√3/3时，a^(-2)+b^(-2)+c^(-2)取最小值9.

Answer 4

将问题分子中的1用a^2+b^2+c^2替换，再利用基本不等式就可以了;
例如其中的1/a^2=a^2+b^2+c^2/a^2 约分即可看出怎么做了

Answer 5

1=a^2+b^2+c^2 ≥3倍（a^2b^2c^2）开三次方
所以（a^2b^2c^2）开三次方≤1/3
a^-2+b^-2+c^-2≥3倍〔1/（a^2b^2c^2）开三次方〕≥3乘3=9
所以最小值为9

Answer 6

1/a)²+(1/b)²+(1/c)²=(a²+b²+c²)[(1/a)²+(1/b)²+(1/c)²]≥(1+1+1)²=9.即(1/a)²+(1/b)²+(1/c)²≥9.当且仅当a=b=c=√3/3时等于九