Question

为什么非单调函数没有反函数

Answer 1

函数定义中有法则“只要求多对一，而不能一对多”，即对于函数y=f(x)，一个x只能对应一个y，不能出现多个y值。

蓝线是y=x²，红线是x＝y²。y=x²是函数，但在定义域上不是单调的，导致关于y=x对称后得到的图像是x＝y²，这不能作为函数，因为不满足“一个x只对应一个y”，既然不能是函数，就不存在反函数一说了。

含义

一般来说，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作x=f-1(y) 。反函数x=f-1(y)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。最具有代表性的反函数就是对数函数与指数函数。

Answer 2

因为一个非单调函数，必有两个不同的x对应同一个y值，那么如果存在反函数，则反函数中两个不同的y对应同一个x值，就是同一个x有两个函数值，而这不是函数。所以非单调函数没有反函数。

Answer 3

如果不是单调函数，那么就有两个或多个自变量的值对应一个函数值
要是它有反函数的话，这个反函数就是一个自变量的值对应多个函数值，而这与函数定义不符
故，单调函数才有反函数