Question

矩阵证明全过程？？

Answer 1

首先这里的矩阵需要是实矩阵,
否则有反例.
例如取二阶复矩阵a
=
[1,-i;i,1],
则s可以为[1,1;-i,-i],
易见s不可逆.
用b'表示b的转置,
对于实矩阵可以证明如下.
设a是n阶矩阵,
可知nul
a的维数为n-r(a),
故n是n×(n-r(a))矩阵.
又可知row
a的维数为r(a),
故r是r(a)×n矩阵.
因此s
=
[r',n]是n阶方阵.
由n的选取,
有an
=
0,
进而有rn
=
0.
可算得s's具有分块形式[rr',rn;n'r',n'n]
=
[rr',rn;(rn)',n'n]
=
[rr',0;0,n'n].
于是r(s)
=
r(s's)
=
r(rr')+r(n'n)
=
r(r)+r(n)
(对实任意矩阵b,
有r(bb')
=
r(b'b)
=
r(b)
(*)).
由r(n)
=
n-r(a),
r(r)
=
r(a)即得r(s)
=
n,
故s为满秩n阶方阵,
即n阶可逆矩阵.
注1:
如果学了内积空间,
可以比较简单的理解这个结果.
an
=
0表明a'的列向量与n的列向量彼此正交,
即row
a的转置与nul
a是互相正交的两个子空间.
又二者维数互补,
故它们各自的一组基可以拼成全空间的一组基.
于是s的列向量是全空间的一组基,
s满秩即可逆.
注2:
关于结论(*),
这是一个常见题目,
可通过bx
=
0与b'bx
=
0同解来证明.
其中实矩阵的条件不能去掉,
这直接导致本题也需要实矩阵的条件.