Question

已知实数x，y满足方程x²＋y²－4x－1＝0求y／x的最值；（2）求y－x的最值;(3)x²+y²的

已知实数x，y满足方程x²＋y²－4x－1＝0求y／x的最值；（2）求y－x的最值;(3)x²+y²的最值

Answer 1

x²-4x+4+y²=5
（x-2）²+y²=5
此为圆的方程，圆心（2，0）半径√5
设x=2+√5cosa，y=√5sina
（1）参考热心网友
（2）y-x=√5sina-2-√5cosa=√5（sina-cosa）-2=√10sin（a-π/4）-2
sin（a-π/4）∈[-1,1]
所以最大值√10-2，最小值-√10-2
（3）令y=0
x²-4x-1=0
x=（4±√20）/2=2±√5
根据数形结合
x²+y²就是圆上的点到原点距离
此时（2+√5，0）到原点距离最远为2+√5
此时x²+y²=9+4√5
最小值即x=2-√5时
此时x²+y²=9-4√5
或者利用参数方程
x²+y²=（2+√5cosa）²+（√5sina）²=9+4√5cosa
很明显cosa∈[-1,1]
所以最大值为9+4√5，此时cosa=1
最小值为9-4√5，此时cosa=-1
这道题是一题多解，看的多了，即使回答者也很受启发，所以题目是死的，人是活的，多做多看。

Answer 2

1：方程变形，得（x-2）2 + y2 = 5，得到x的取值范围是 2-根号5 到 2+根号5
方程左右同除x2，记y/x为新的Y，1/x为新的X，得：Y2 = （X+2）2 - 5
这是双曲线，本来是最值是正负无穷大，但因为x有取值范围，所以Y就有最值了
发生在x = 2+根号5处，此时的Y = 正负根号[（4+根号5）2 - 5 ]
2：方程变形得 y2 = 5 - （x - 2）2，记 a = 后面那堆东西，所以 y2 = a
所以 y = +- 根号a，所以 y-x = -x +- 根号a，y-x就是新Y
所以Y= -x +- 根号a，分析，当x越大，则根号a越小，-x也越小，因此当x最大时，Y会
取得最小值，反过来一样，当x最小时，Y会取得最大值。
用上面的x的取值范围代入 Y = -x +-根号a，就算出来Y的最值了，我这里用文本不好写，
怪不得没人回答你呢，真可怜。。。
3：有了上面的思路，这个就很简单了，令Y = x2 + y2
得：Y = 4x +1，这是个斜线，本来最值是正负无穷大，但因为x有范围，所以就最大最小值
分别把x的最大值 （2 + 根号5）代入 Y= 4x + 1，得到Y的最大是9 + 4 * 根号5
最小值自己算吧

这个题挺活的，比较好

-------------过路

Answer 3

x²＋y²－4x－1＝0可化为（x-2）²＋y²＝5，（x，y）是约束在圆上的所有点的集合
（1）y／x的无最值
（2）令求y－x=z，即y=x+z，根据线性规划，可知要使z最大，这条直线的截距必须最大，显然在约束条件下，当y=x+z在y正半轴相切时最大，将y=x+z代入原方程，△=0时相切，解得z=√10-2或
z=-√10-2，分别为z的最大值和最小值
（3）)x²+y²的最值是求圆上的点到原点距离的平方，因此，显然过原点的直径包含最大值和最小值，分别为√5+2和√5-2，所以x²+y²的最大值为（√5+2)²=9+4√5,最小值为（√5-2)²=9-4√5

Answer 4

回答很好啊,最好采用线性规划的知识点进行解答.