已知a4+b4+c4+d4=4abcd，且a，b，c，d都是正数，求证：a=b=c=d．
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a4+b4+c4+d4-4abcd=0，
(a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2+2a^2b^2+2c^2d^2-4abcd=0，
所以
(a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2+2(ab-cd)^2=0．
因为(a^2-b^2)^2≥0，(c^2-d^2)^2≥0，(ab-cd)^2≥0，所以
a^2-b^2=c^2-d^2=ab-cd=0，
所以
(a+b)(a-b)=(c+d)(c-d)＝0．
又因为a，b，c，d都为正数，所以a+b≠0，c+d≠0，所以
a＝b，c=d．
所以
ab-cd=a^2-c^2=(a+c)(a-c)=0，
所以a＝c．故a=b=c=d成立．
(a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2+2a^2b^2+2c^2d^2-4abcd=0，
所以
(a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2+2(ab-cd)^2=0．
因为(a^2-b^2)^2≥0，(c^2-d^2)^2≥0，(ab-cd)^2≥0，所以
a^2-b^2=c^2-d^2=ab-cd=0，
所以
(a+b)(a-b)=(c+d)(c-d)＝0．
又因为a，b，c，d都为正数，所以a+b≠0，c+d≠0，所以
a＝b，c=d．
所以
ab-cd=a^2-c^2=(a+c)(a-c)=0，
所以a＝c．故a=b=c=d成立．
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