Question

二重积分计算体积

利用二重积分计算体积 注意不要用截面法，因为用那个方法我可以做出答案。要用先一后二的方法。

Answer 1

来信收到，首先指出，你的概念有错：二重积分的计算中没有“先二后一”和“先一后二”的概念，只有在三重积分的计算中才有：
注意到Ω关于xOy坐标面上下对称。先算z≥0的部分，再2倍之。按你的要求，用“先一后二”。
必须将Ω投影到xOy坐标面上，再将投影区域分成两个部分——
D(1)：x^2+y^2≤1，对应的是一个圆柱体；
D(2)：1≤x^2+y^2≤2，对应的z从z=√【(x^2+y^2)-1】到z=1；
在D(1)上“先一”得1，则“后二”得
V(1)=∫∫【D(1)】1dxdy=π；
在柱面坐标系下，D(2)上“先一”得1-√(r^2-1)，则“后二”得
V(2)=∫∫【D(2)】[1-√(r^2-1)]rdrdθ
=∫【0到2π】dθ∫【1到√2】[1-√(r^2-1)]rdr
=2π∫【1到√2】[1-√(r^2-1)]rdr
=2π[(r^2)/2-(1/3)*(r^2-1)^(3/2)]【1到√2】
=2π(1/2-1/3)=π/3。
V=2[V(1)+V(2)]=8π/3。
方法肯定就是这样，请自己核对答案，抱歉了，没写草稿，相信不会有错。