Question

已知数列﹛an﹜满足a1=1，a2=3，an+2=3an+1—2an（n∈N*）求大神帮助

（1）证明数列﹛an+1—an﹜是等比数列 （2）求数列﹛an﹜的通向公式 （3）若数列﹛bn﹜满足4b1—14b2—1......4bn—1=（an+1）bn（n∈N*），证明﹛bn﹜是等差数列。

Answer 1

(1)由an+2=3an+1-2an
可得an+2-an+1=2(an+1-an)
因为a2-a1=2,所以an+1-an不会等于0,则an+1-an是以2为公比的等比数列
(2)由一可得an+1-an=2^n
an-an-1=2^(n-1)
.......
.......
a2-a1=2
连加可得an+1=2^(n+1)
则an=2^n
(3)由4^(b2-1)*4^(b2-1)…4^(bn-1)=（an+1)^bn化简得
2(b2+b2+b3...+bn-n)=(n+1)bn
当n=2时可得B2=4
当N=3时可得B3=5
由4^(b2-1)*4^(b2-1)…4^(bn-1)=（an+1)^bn得N要大于1
则可猜想BN=N+2
再用数学归纳法来证
当N=2时,已得成立
假设N=K时2(b2+b2+b3...+bn-n)=(n+1)bn,BK=K+2成立
则当N=K+1时,2(B2+B2+B3+......BK+BK+1-K-1)=(K+2)BK+1
与2(b2+b2+b3...+bK-K)=(K+1)bK联列可解得BK+1=K+3
即对于任意实数N大于一,BN都是等差数列