Question

n*n的正方形网格中有多少个长方形,要写理由

Answer 1

计算长方形（包括正方形）时，可以认为长方形位置由左上角和右下角两个方格的位置唯一决定（包括两方格重合）。左上角方格可以取到全部格子，但右下角格子一定是在左上角格子右下方。可以推出总数（1+2+⋯+n）*（1+2+⋯+m），其中n和m分别为网格长和宽。
单独计算正方形则可以把正方形位置看做由左上角格子位置和边长唯一决定，方法应该也一样。

Answer 2

n*n的正方形网格中有横竖各n+1条直线,其中,任意各取两条都可以组成一个长方形﹙正方形也是长方形﹚.所以长方形个数为C﹙n+2,2﹚×C﹙n+2,2﹚＝﹙n+1﹚²n²/4个.
如果正方形不算,则N＝﹙n+1﹚²n²/4-[1²+2²+……+n²]＝﹙n+1﹚²n²/4-n﹙n+1﹚﹙2n+1﹚/6个
例如4×4的正方形网格中有长方形100个.其中狭义长方形70个.