Question

已知函数f（x）=sin（π2-x）cosx-sinx•cos（π+x）．（Ⅰ）...

已知函数f（x）=sin（π2-x）cosx-sinx•cos（π+x）． （Ⅰ）求函数f（x）的单调区间； （Ⅱ）在△ABC中，若A为锐角，且f（A）=1，BC=2，B=π3，求AC边的长．

Answer 1

解：（Ⅰ）函数f（x）=sin（π2-x）cosx-sinx•cos（π+x）=cos2x+sinxcosx…（2分）
=12（sin2x+cos2x+1）=22sin（2x+π4）+12…（3分）
令-π2+2kπ≤2x+π4≤π2+2kπ，可得x∈[-3π8+kπ，π8+kπ]
所以函数f（x）的单调增区间为：[-3π8+kπ，π8+kπ]（k∈Z） …（5分）
同理可得函数f（x）的单调减区间为[π8+kπ，5π8+kπ]（k∈Z）…（6分）
（Ⅱ）因为f（A）=1，所以22sin（2A+π4）+12=1
所以sin（2A+π4）=22
因为A为锐角，所以π4＜2A+π4＜5π4 …（8分）
所以2A+π4=3π4，所以A=π4 …（9分）
在△ABC中，由正弦定理得，BCsinA=ACsinB，即2sinπ4=ACsinπ3…（11分）
∴AC=6 …（12分）