Question

设二元函数z=x＾2+xy+y＾2-x-y,x＾2+y＾2<=1,求它的最大值和最小值。

Answer 1

当x=y=-√2/2时
x＾2+y＾2最大
xy最大
-x-y最大
所以最大值：3/2+√2
z=x＾2+（y-1）x+y＾2-y
当x=（1-y）/2时有最小值
又z=x＾2+y＾2-y-（1-y）x
且
y=<1
最小值存在时x>0
y>0
（（1-y）/2）＾2+y＾2
在
y>0
y=<1时恒小于等于1即
x可以=（1-y）/2
代入得z=(3y^2-2y-1)/4
时有最小值
又当y=1/3时有最小值
即x=1/3
所以z=x＾2+xy+y＾2-x-y,最小值为-1/3
求最小值的方法2：
极值点
必满足：
fx=2x+y-1=0
fy=2y+x-1=0
（fx表示对x的偏导）
解得y=1/3
x=1/3
代入即可