数学几何体问题1
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1.证明:设AD中点为M,连接EM、E'M
∵ED=EA,∴EM⊥AD .........等腰三角形性质
∵EE'⊥平面ABCD,∴E'是E在平面ABCD上的射影
由三垂线可知:∵EM⊥AD,∴E'M⊥AD
又∵M是AD中点,E'M⊥AD
∴E'M为AD的垂直平分线,即E'在AD的垂直平分线上
同理:即F'在BC的垂直平分线上
又∵四边形ABCD为正方形,∴AD、BC的垂直平分线重合
∴E'、F'在AD的垂直平分线上,即E'F'垂直且平分线段AD
2.解:过CD做平面α,使得平面α⊥平面ABCD,交EF于G,连接GB、GC
∴△GBC的高=EE'
∵底面ABCD为正方形,边长为2,∴AE'=√2
又∵△AED是等腰三角形,且∠EAD=60°,∴△AED为等边三角形,∴AE=AD=2
∴在RT△AE'E中:由勾股定理可知EE'=√2
将四面体F-GBC沿着直线l平移,使得△FBC与△ECA完全重合......(显然△FBC≌△ECA,证明略)
此时G点的位置为G'
则原多面体体积=三棱柱G'AD-GBC体积
=△GBC面积×AB
=1/2×BC×EE'×AB
=1/2×2×√2×2
=2√2
∵ED=EA,∴EM⊥AD .........等腰三角形性质
∵EE'⊥平面ABCD,∴E'是E在平面ABCD上的射影
由三垂线可知:∵EM⊥AD,∴E'M⊥AD
又∵M是AD中点,E'M⊥AD
∴E'M为AD的垂直平分线,即E'在AD的垂直平分线上
同理:即F'在BC的垂直平分线上
又∵四边形ABCD为正方形,∴AD、BC的垂直平分线重合
∴E'、F'在AD的垂直平分线上,即E'F'垂直且平分线段AD
2.解:过CD做平面α,使得平面α⊥平面ABCD,交EF于G,连接GB、GC
∴△GBC的高=EE'
∵底面ABCD为正方形,边长为2,∴AE'=√2
又∵△AED是等腰三角形,且∠EAD=60°,∴△AED为等边三角形,∴AE=AD=2
∴在RT△AE'E中:由勾股定理可知EE'=√2
将四面体F-GBC沿着直线l平移,使得△FBC与△ECA完全重合......(显然△FBC≌△ECA,证明略)
此时G点的位置为G'
则原多面体体积=三棱柱G'AD-GBC体积
=△GBC面积×AB
=1/2×BC×EE'×AB
=1/2×2×√2×2
=2√2
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