Question

高中数学！！！

己知f(x)满足f(1)=1,对于任意实数x,y都满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2y(x+y)+1,若x属于N*,则f(x)的解析式为 ？

Answer 1

1=f(1)=f(1+0)=f(1)+f(0)+1
f(0)=-1.
f(2)=f(1)+f(1)+2×2+1=f(1)+2+2×2
f(3)=f(2)+f(1)+2×3+1=f(2)+2+2×3=1+2×2+2×2＋2×3
f(4)=f(3)+f(1)+2×4+1=f(3)+2+2×4=1+2×3+2×2+2×3+2×4
x属于自然数时
f(x)=1+2(x-1)+2×2+2×3+......2x.=x²＋3x－3(x属于N＋)

Answer 2

f(x+y)=f(x)+f(y)+2y(x+y)+1

若y=1 则 f(x+1)=f(x)+1+2(x+1)+1
=f(x)+2x+4
即 f(x+1)=f(x)+2x+4
f(n+1)=f(n)+2n+4
f(n)=f(n-1)+2(n-1)+4
f(n-1)=f(n-2)+2(n-2)+4
…………
f(2)=f(1)+2×1+4
f(1)=1
上式全部相加 得
f(n+1)+f(n)+……f(2)+f(1)=[f(n)+f(n-1)+……+f(1)]+2[n+(n-1)+……+1]+4n+1（注意最后一式 f(1)=1与前面不一样）
即f(n+1)=n(1+n)+4n+1=n²+5n+1=(n+1)²+3(n+1)-3
故f(n)=n²+3n-3
即f(x)=x²+3x-3
可以理解吧？

Answer 3

f(x)=x²+3x-3