Question

1人同问 已知数列{an}的各项为正数,前n项和为Sn,满足Sn=1/2(an+1/an)则an?

Answer 1

这个题以前做过,只不过这个题没有第一问（计算a1,a2,a3的值）我就把答案抄过来吧,如下：

第一种方法是数学归纳法
猜想an=√n-√(n-1)
证明：①当n=1时,S1=a1=1,1/2(a1+1/a1)=1,命题成立
②假设n=k时,命题成立,即ak=√k-√(k-1)
则当n=k+1时,
a(k+1)=S(k+1)-Sk=1/2[a(k+1+1/a(k+1)-ak-1/ak)]
即a(k+1)-1/a(k+1)=-(ak+1/ak)=-2√k
即a(k+1)^2+2√k-1=0（解一元二次方程）
解得a(k+1)=√(k+1)-√k（舍去负根）,命题也成立
综上,an=√n-√(n-1)

下面是我自己研究的解法：
Sn=1/2(an+1/an)①
S(n-1)=1/2(a(n-1)+1/a(n-1))②
①-②,得an=1/2(an-a(n-1)+1/an-1/a(n-1))
即an+(a(n-1)+1/a(n-1))-1/an=0
an^2+2S(n-1)an -1=0
由an>0解得an=√(S(n-1)^2+1)-S(n-1)=1/[√(S(n-1)^2+1)+S(n-1)]
代入①式得Sn=√(S(n-1)^2+1)
Sn^2=S(n-1)^2+1
所以{Sn^2}为首项1公差为1的等差数列
Sn^2=n即Sn=√n
an=Sn-S(n-1)=√n-√(n-1)