Question

1．已知数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意的n∈N＋满足关系式2Sn＝3an－3.

1．已知数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意的n∈N＋满足关系式2Sn＝3an－3.
　　（1）求数列{an}的通项公式；
　　（2）设数列{bn}的通项公式是bn＝1log3an?log3an＋1，前n项和为Tn，求证： 对于任意的正数n，总有Tn<1.

Answer 1

2Sn＝3an－3
2Sn-1=3a(n-1)-3
上述两式相减得
2an=3an-3a(n-1)
即an=3a(n-1)，an是等比数列，a1=S1=3
所以an=3^n

Answer 2

（2）根据题意，b(n)=1/[n×(n+1)]=1/[n(n+1)]裂项，得b(n)=1/n-1/(n+1)所以，b(n)的前n项和为T(n)=1-1/2+1/2-1/3+…+1/(n-1)-1/n+1/n-1/(n+1)=1-1/(n+1)=n/(n+1)