已知a,b,c都是正数,求证：a,b,c的3次方的和大于或等于3倍abc
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a^3+b^3≥a^2b+b^2a------(1)
上式可用作差和因式分解证得.证明如下:
a^3+b^3-a^2b-ab^2=(a-b)^2(a+b)≥0
同理有,b^3+c^3≥b^2c+c^2b---(2),
c^3+a^3≥c^2a+a^2c---(3)
将(1)(2)(3)三式相加,得
2(a^3+b^3+c^3)≥(a^2b+c^2b)+(a^2c+b^2c)+(b^2a+c^2a)
=b(a^2+c^2)+c(a^2+b^2)+a(b^2+c^2)≥2abc*3=6abc
即a^3+b^3+c^3≥3abc
上式可用作差和因式分解证得.证明如下:
a^3+b^3-a^2b-ab^2=(a-b)^2(a+b)≥0
同理有,b^3+c^3≥b^2c+c^2b---(2),
c^3+a^3≥c^2a+a^2c---(3)
将(1)(2)(3)三式相加,得
2(a^3+b^3+c^3)≥(a^2b+c^2b)+(a^2c+b^2c)+(b^2a+c^2a)
=b(a^2+c^2)+c(a^2+b^2)+a(b^2+c^2)≥2abc*3=6abc
即a^3+b^3+c^3≥3abc
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