Question

为什么原函数是ln(-π/2)×ln(2x)

Answer 1

具体回答如下：

积分限分为0到π/4，π/4到π/2。

π/4到π/2上的积分换元x=π/4-t，化为lncosx 从0到π/4的积分。

原式

=∫（0到π/4） （lnsinx+lncosx）dx

=∫（0到π/4） （-ln2+lnsin(2x)）dx

=-π/4×ln2+∫（0到π/4） lnsin2x dx 

=-π/4×ln2+1/2×∫（0到π/2） lnsint dt，后者换元t=2x。

综上所述，原式=-π/2×ln2。

积分的性质：

如果一个函数f在某个区间上黎曼可积，并且在此区间上大于等于零。那么它在这个区间上的积分也大于等于零。如果f勒贝格可积并且几乎总是大于等于零，那么它的勒贝格积分也大于等于零。

作为推论，如果两个函数上的可积函数f和g相比，f（几乎）总是小于等于g，那么f的（勒贝格）积分也小于等于g的（勒贝格）积分。